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lunedì 27 settembre 2010

Giochino con le addizioni...

Questa volta presento un "trick" banalissimo che riguarda la somma algebrica: l'ho scoperto casualmente questa mattina, ma si può dimostrare facilmente anche senza fare i conti (comunque ho inserito tutti i passaggi):

http://www.scribd.com/doc/38220635/A-Nice-Property

mercoledì 15 settembre 2010

X-Test norm & Scribd

This is the preliminary norm of the X-Test after 20+ first submissions:

http://www.box.net/shared/hki33xb9qy

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A few days ago, I joined Scribd. At the moment, I'm using it to collect some of my works. There you can find the X-Test, this norm and so on:

http://www.scribd.com/marco_rip%C3%A0

venerdì 3 settembre 2010

Sequenza consecutiva-permutazionale e sua primalità

L'argomento che presenterò in questa circostanza è al contempo stimolante, creativo e... matematico. L'avvertenza è solo quella di stare attenti agli effetti assuefattivi che può causare, ma per il resto (IMHO) è una tematica davvero avvincente.

Un matematico di nome Florentin Smarandache, all'inizio degli anni '90, ha pubblicato un libro ("Only problems, not solutions!"), nel quale introduceva oltre 100 problemi (per la maggior parte di teoria dei numeri - trattabili anche senza possedere conoscenze avanzate di matematica -). A questo testo, in seguito, se ne aggiunsero altri dello stesso tipo, molti dei quali pubblicati da coloro che, risolvendo alcuni quesiti, se ne ponevano nel frattempo altri similari.
Poco prima di Ferragosto, mi sono cimentato anch'io in un paio di quei problemi che sono rimasti insoluti in oltre 3 lustri di fervente attività cognitiva. I risultati? Beh, giudicate voi:

http://www.box.net/shared/ocjl4kexpq

Esporrò adesso quella che è, a tutti gli effetti, una nuova sequenza di interi; accompagnata dalla solita, immancabile, "sfilza" di problemi aperti. A chi ha avuto la pazienza di leggere fino in fondo l'articolo (e magari lo ha trovato interessante), propongo un’inedita successione da studiare, costruita nel modo seguente.
Partiamo dalla sequenza consecutiva (Sm_N:=1,12,123,1234,...) in una base qualsiasi, poniamo (per comodità) la consueta base decimale: orbene, la nuova sequenza sarà costituita dall'insieme di tutte le permutazioni possibili di ogni cifra di Sm_N (ovviamente in un ordine ben preciso).
Definiamo dunque la sequenza consecutiva-permutazionale come:
P(r)=1,12,21,123,132,213,231,312,321,1234,1243,1324,1342,
1423,1432,2134,2143,2314,2341,2413,2431,3124,3142,...

E' evidente che tale sequenza contiene (strettamente) al suo interno l'intera sequenza circolare che a sua volta contiene strettamente quella consecutiva. Ha inoltre la caratteristica che ogni termine è più piccolo del precedente e questo ne definisce, in maniera univoca, l’ordinamento.
La sequenza P(r) ne contiene in realtà molte altre, sia note che non, come quella destra-sinistra, quella sinistra-destra, quella invertita, ecc...

Se fissiamo "k", un dato valore della variabile indipendente, abbiamo che la numerosità termini della sequenza P(r<=k) è di poco inferiore alla produttoria, per l'indice "i" che va da 1 a k, di i!
Per esempio, ponendo k=11, abbiamo che i termini della sequenza formati al più da 13 cifre sono la bellezza di 1+2+6+24+120+720+5040+40320+362880+
+39916800+6227020800=6267346713.

Chi se la sentisse può provare a trovare la formula generale, che definisce tale sequenza in funzione della variabile posizionale "i" o di "r" - quella relativa ai gruppi di #Cf! unità (cfr. prima parte del paper menzionato in precedenza) -.
Sarebbe poi interessante individuare quali di questi termini sono numeri primi ecc...
In proposito, possiamo appellarci al risultato evidenziato nella prima parte del paper che ho scritto ed escludere a priori tutti i p(r) che non si trovano in posizione 1+3*n (se consideriamo solo la macrosequenza per r=1,2,3,...), essendo tutti gli altri termini sicuramente divisibili per 3 e dunque composti. Scarteremmo poi tutti quelli che non finiscono per 1,3,7 o 9 e così via.

N.B.
Il criterio di esclusione generale, così come l'ho presentato (per i divisori >5), si applica a tutte le rotazioni di cifre, non solo dei "tasselli", ma non è coniugabile con le restanti permutazioni.

Altri quesiti aperti si trovano all'interno del paper stesso, ma ci tenevo a condividere quest'idea con chiunque altro possiede il mio stesso interesse ed è al contempo tanto scellerato da leggere quello che scrivo :D
Inutile aggiungere che una siffatta sequenza, a prescindere dall'ordine dei termini per un fissato valore di r, è davvero molto generale e le risposte ai problemi che ho poc'anzi introdotto (e agli altri che ho evitato di esplicitare) soddisferebbero (implicitamente ed esaustivamente) anche tutti quelli inerenti le altre innumerevoli sequenze in essa contenute (a cominciare da quella consecutiva)!